Veille et Analyses
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Démarche expérimentale et apprentissages mathématiques

Ce dossier a été préparé à partir d'une étude réalisée en 2006 pour l'équipe EducMath de l'INRP, sur la place d'une démarche expérimentale dans les apprentissages mathématiques. Cette étude a été coordonnée par Gérard Kuntz (animateur de l'APMEP et du réseau des IREM) et a bénéficié de contributions de Françoise Carraud (Centre Alain Savary INRP), Thierry Dias (LIRDHIST, université Lyon 1), Viviane Durand-Guerrier (LIRDHIST, université Lyon 1), Françoise Poyet (Veille scientifique et technologique, INRP) et Luc Trouche (INRP et LIRDHIST). Le texte original a été adapté et enrichi pour publication dans ce dossier de la Veille par Jana Trgalova (INRP et LIG) et Brigitte Bacconnier (VST INRP).

Introduction

Expérimenter en mathématiques, pratiquer la démarche expérimentale, ces expressions ont dans ce document un sens très précis. Il ne s'agit en aucun cas d'une manipulation qui serait en elle-même source de connaissance. L'expérimentation telle que nous l'entendons n'a de sens que par ses articulations avec la formulation (dimension langagière) et la validation (par la preuve). Le va-et-vient entre théorie et expérience est précisément ce qui caractérise la démarche expérimentale. Il n'y a pas d'un côté les aspects expérimentaux et de l'autre côté la preuve, entre lesquels il faudrait choisir.

Le défi pour l'enseignement est de développer des situations d'apprentissage qui permettent les aller-retour entre les deux. Si, comme l'affirme Paul Langevin dans La pensée et l'action, « Le concret, c'est de l'abstrait rendu familier par l'usage », les objets qui permettent l'expérimentation ne sont pas nécessairement des objets matériels. Ce sont des objets suffisamment familiers pour le sujet, qui servent de domaine d'expérience pour construire des connaissances plus complexes. C'est par exemple le cas des nombres entiers et de leurs propriétés élémentaires pour la théorie des nombres.

Expérimentation, formulation-interprétation et preuve, chacun des trois mouvements de la pensée peut rétroagir sur les deux autres, créant de la sorte un réseau de « boucles de rétroaction » (boucles génératrices dans lesquelles les produits et les effets sont eux-mêmes producteurs et cause de ce qui les produit). Ainsi, l'échec d'une tentative de preuve peut amener à mieux tester la solidité de la conjecture née d'une expérimentation. Il peut conduire à modifier la conjecture, voire l'expérimentation elle-même. Il peut aussi inciter à imaginer d'autres chemins de preuve. De même, l'expérimentation mise en place pour cerner une question mathématique peut déboucher sur des résultats imprévus, surprenants, qui conduisent à des interrogations sur d'autres propriétés et sur de nouveaux domaines, sur de nouvelles conjectures et tentatives de preuve.

Le travail conduit par Guy Brousseau depuis les années soixante-dix relève clairement d'une prise en compte de la dimension expérimentale dans l'enseignement des mathématiques. La théorie des situations didactiques (Brousseau, 1998) propose un cadre pour penser et construire les articulations entre expérimentation, formulation et validation. Comme l'écrit Guy Brousseau (p. 111) : « Toutes les assertions de la théorie sont susceptibles de se voir explicitées et remises en question. La théorie elle-même est un objet d'étude et de construction ». À cet égard, la situation du puzzle, développée par Guy Brousseau est emblématique. Catherine Houdement et Claudine Robert l'ont présentée au cours de leur intervention La spécificité de la démarche d'investigation en mathématiques à Saint-Étienne lors du colloque Mathématiques, sciences expérimentales et d'observation à l'école primaire (2005), organisé par La Main à la Pâte (cf. chapitre 2).

Nous pouvons citer également, dans une autre perspective, les travaux des didacticiens italiens, autour de Paolo Boero à Gènes, sur les domaines d'expériences, dont on trouve une illustration dans les Actes de l'École d'été de didactique de 1999, en particulier la présentation de l'atelier de P. Boero. On peut voir aussi, du même auteur, l'article « Argumentation et démonstration : Une relation complexe, productive et inévitable en mathématiques et dans l'enseignement des mathématiques » (Boero, 1999).

 

Ce dossier est une publication du service de Veille Scientifique et Technologique
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