Veille et Analyses
http://www.inrp.fr/vst

Débats autour de l'introduction d'une composante expérimentale dans l'enseignement des mathématiques

Questions et mises en garde à propos de l'expérimentation en mathématiques

On le voit ci-dessus, l'introduction d'une dimension expérimentale en mathématiques, recommandée par les programmes d'enseignement est en oeuvre. Cette introduction et les différentes initiatives pédagogiques qui s'y rattachent sont cependant fortement contestées en France par un courant minoritaire, mais très vigoureux, qui dénonce les dérives et les abandons issus, d'après lui, de ces innovations. Rudolf Bkouche en est un porte-parole particulièrement énergique (voir la liste de ses articles). Ses mises en garde méritent attention, malgré leur caractère parfois excessif. Peut-on sans risques, demander à des enseignants de mathématiques formés de manière très théorique, d'intégrer (sans formation complémentaire) une dimension expérimentale consistante à leur enseignement ? Disposons-nous d'analyses comparatives montrant la supériorité de cette approche par rapport aux approches dites plus « classiques » ? L'expérimentation est-elle une bonne réponse au public scolaire « en difficultés graves » et à l'arrivée massive des outils informatiques en classe ? Ses conséquences ont-elles bien été pesées ? L'expérimentation n'a certes de sens en mathématiques que si elle est une étape d'une démarche globale, dont l'examen des conjectures et la preuve de celles qui paraissent vraisemblables, sont des moments déterminants.

« Le premier effet fécond de l'expérimentation dans la recherche en mathématiques est de fournir un vivier de conjectures ». Pour Jean-Paul Allouche, mathématicien, l'expérimentation virtuelle est le lot quotidien. Mais il sait que la réfutation ou la preuve des conjectures constituent l'essentiel de son travail. Son article « La recherche expérimentale en mathématiques » est une utile mise en garde contre le « tout expérimental ».

L'article de Claudine Robert et de Jacques Treiner, « Une double émergence » (2004), oblige à prendre de l'altitude face à des expérimentations « naïves ». Il montre la complexité de la notion d'expérimentation et souligne que sa pertinence repose sur une double modélisation préalable, physique et mathématique, en interaction forte. Le premier exemple traité, le calcul du rayon de la terre par la méthode d'Ératosthène, est particulièrement percutant.

La preuve est un moment essentiel de la démarche mathématique. La Lettre de la Preuve est une mine de textes venus du monde entier, qui en souligne le caractère central pour que l'enseignement des mathématiques garde son sens et son intérêt. Ceci n'est évidemment en rien contradictoire avec la prise en compte de la dimension expérimentale des mathématiques (qui en est un autre moment important).

L'article de Epstein et Levy, « Experimental mathematics: self-contradiction or lifeblood ? » (2001) montre aussi l'articulation entre pensée pure et aspects expérimentaux :

« Why should mathematicians need experiments rather than only pure thought? Since after a billion years of evolution, the eye is better at picking out patterns than the brain - after perhaps a million years of evolution - is at symbolic manipulation, drawing pictures of complicated mathematical phenomena or looking at organized data often enables us to pick out essential regularities. Of course, we must know what to look for. This is why experimental mathematics, while based on systematic experimentation, is fuelled by theoretical ideas and is important largely to the extent that it leads to new theoretical ideas. [...]
In sum, mathematics has always had an experimental component, although until the late twentieth century, experiments were on a smaller scale. Mathematics also depends on proof. Because of proof, we can still read and understand mathematics written by the ancient Greeks; not much experimental science has survived 2.500 years. Therefore, we worry that proof often seems to be absent from high school mathematics courses. In the end, only the interplay of experimentation and proof can keep mathematics vital and connected. »

Pourquoi les mathématiciens auraient besoin d'expériences plutôt que de pensée pure ? Car après une évolution d'un billion d'années, l'œil arrive mieux à reconnaître des figures que le cerveau - après une évolution d'un million d'années probablement - n'arrive à effectuer des manipulations symboliques, dessiner des images de phénomènes mathématiques complexes, ou regarder des données organisées nous aide souvent à percevoir des régularités essentielles. Évidemment, nous devons savoir ce que nous cherchons. C'est pourquoi les mathématiques expérimentales, lorsqu'elles sont fondées sur des expériences systématiques, sont propulsées par des idées théoriques et sont importantes dans la mesure où elles mènent aux nouvelles idées théoriques. [...] En résumé, les mathématiques ont toujours eu une composante expérimentale, bien que jusqu'à la fin du xxe siècle, les expériences ne se faisaient qu'à petite échelle. Les mathématiques dépendent aussi des preuves. Grâce aux preuves, nous sommes encore capables de lire et de comprendre les mathématiques écrites par les mathématiciens de l'ancienne Grèce ; pas beaucoup de science expérimentale a survécu en 2 500 ans. Par conséquent, nous craignons que la preuve ne paraît souvent absente des cours de mathématiques de l'enseignement secondaire. Après tout, seulement la dialectique entre expérience et preuve peut maintenir les mathématiques vivantes et cohérentes. (Traduction J. Trgalova.)

  

Ce dossier est une publication du service de Veille Scientifique et Technologique
de l'Institut National de Recherche Pédagogique - © ENS Lyon

École normale supérieure de Lyon
Institut français de l'Éducation
Veille et Analyses
15, parvis Descartes - BP 7000 - 69342 Lyon cedex 07
Standard: +33 (0)4 72 76 61 00, Télécopie: +33 (0)4 72 76 61 06